Pitágoras de Samos
Pitágoras de Samos foi um filósofo grego responsável por importantes desenvolvimentos na Matemática, Astronomia e Teoria da Música. Ele deixou a cidade de Samos por causa do tirano que a governava e foi para o sul da Itália por volta de 532 ac.. Ele fundou uma escola filosófica e religiosa em Cróton, a qual teve muitos seguidores.
Embora aquilo que hoje chamamos de "Teorema de Pitágoras" já fosse conhecido pelos babilónios cerca de 1000 anos antes, Pitágoras pode ter sido o primeiro a efectivamente demonstrá-lo e comprová-lo. Dos seus trabalhos mais recentes nada se conhece, já que sua escola era secreta e praticava o que chamavam de "comunalismo", ou seja, os trabalhos de Pitágoras se misturavam aos de seus seguidores tornando-se impossível distingui-los uns dos outros. Sua escola fez notáveis contribuições à Matemática.
Os "pitagóricos" acreditavam que todas as relações (na natureza) poderiam ser reduzidas a relações numéricas. Esta generalização baseava-se em observações na música, na matemática e na astronomia. Os pitagóricos notaram que cordas (de harpa) sendo vibradas produziam tons harmónicos quando a razão entre seus comprimentos era um número inteiro, e que estas razões poderiam ser estendidas para outros instrumentos.
A descoberta mais importante desta escola foi o facto de que a diagonal de um quadrado não é um múltiplo racional de seus lados. Este resultado demonstrou a existência dos números irracionais. Isto não apenas perturbou toda a Matemática Grega, como também a própria crença dos pitagóricos de que números inteiros e suas razões poderiam justificar propriedades geométricas foi desafiada pelos seus próprios experimentos.
Na Astronomia Pitágoras imaginou a Terra como uma esfera no centro do Universo. Ele também reconheceu que a órbita da Lua era inclinada em relação ao equador da Terra e ele foi um dos primeiros a imaginar que Vénus, como a estrela da tarde, era o mesmo planeta que Vénus como a estrela da manhã.
Isaac Newton
(1642-1727)
Cientista e matemático inglês (1642-1727). Consta que não se destacava muito nos estudos antes da adolescência e que adorava ficar inventando e construindo pequenos objectos, desde pipas até relógios solares e de água.
Um tio que trabalhava na Universidade de Cambridge percebeu as suas tendências e conseguiu levá-lo para estudar nessa universidade. Durante os anos em que lá permaneceu, Newton não foi considerado excepcionalmente brilhante, mas, mesmo assim, desenvolveu um recurso matemático que ainda hoje leva seu nome: o binómio de Newton.
Na época em que se formou, uma epidemia de peste assolava Londres, o que o fez retirar-se para a fazenda da mãe. Foi aí que fez a observação mais famosa: viu uma maçã cair de uma árvore. Esse fenómeno corriqueiro levou-o a pensar que haveria uma força puxando a Lua, impedindo-a de escapar da sua órbita, espaço afora. (Só bem mais tarde, levando em conta os estudos de Galileu e Kepler, além de suas próprias experiências e cálculos, Newton formularia essa ideia no seguinte princípio: "A velocidade da queda é proporcional à força da gravidade, e essa força diminui com o quadrado da distância até o centro da Terra".)
Essa teria sido a primeira vez em que se cogitava que uma mesma lei física (a atracção dos corpos) pudesse se aplicar tanto a objectos terrestres quanto a corpos celeste. Até então, seguindo o raciocínio de Aristóteles, achava-se que esses dois mundos - Terra e céu - tivessem naturezas completamente diferentes, sendo cada um regido por um conjunto específicos de leis.
As experiências de Newton com a luz também possibilitaram descobertas surpreendentes. A mais conhecida delas foi conseguida quando deixou um pequeno feixe de luz do Sol penetrar numa sala escura e atravessar um prisma de vidro. Verificou que o feixe se abria ao sair do prisma, revelando ser constituído de luzes de diferentes cores, dispostas na mesma ordem em que aparecem no arco-íris. Para provar que essas cores não eram acrescentadas pelo próprio vidro, Newton fez o feixe colorido passar por um segundo prisma. Como resultado, as cores voltaram a se juntar, provando que sua reunião formava outro feixe de luz branca, igual ao inicial.
O fenómeno da refracção luminosa ocorria, de facto, sempre que a luz atravessava prismas ou lentes (de modo menos pronunciado), o que limitava a eficiência dos telescópios. Newton projectou então um telescópio reflector, no qual a concentração da luz, em vez de ser feita com uma lente, era obtida pela reflexão num espelho parabólico. Esse princípio é utilizado até hoje na maioria dos telescópios.
Já conhecido por suas experiências ópticas, Newton retornou a Cambridge, onde se tornaria professor catedrático de matemática; com apenas 27 anos. Mais tarde, foi eleito membro da Royal Society. Nesta sociedade de estudos passou a enfrentar a inimizade de Robert Hooke. Esse relacionamento belicoso era piorado pela extrema susceptibilidade de Newton às críticas.
Em 1687, Newton publicou a sua obra mais importante , Philosophiae naturalis principia mathematica [Príncipios matemáticos da filosofia natural]. Nessa obra, ele inclui todos os seus conhecimentos científicos. Ali constam, por exemplo, suas famosas três leis do movimento, que lhe permitiram formular matematicamente o valor da força de atracção entre dois corpos quaisquer, em qualquer parte do universo.
Se Copérnico costuma ser visto como o iniciador de um período de progresso intelectual chamado Revolução Científica, Newton pode ser considerado o ápice dessa ascensão. As suas conclusões explicavam maior número de fenómenos com o menor número possível de elementos. Isto é o que muitos estudiosos chamam de "solução elegante"
O astrónomo Edmund Halley ( o descobridor do cometa que leva seu nome) perguntou a Newton como conseguia realizar tantas descobertas notáveis. Ele respondeu que as atribuía mais a um esforço contínuo do pensamento do que à inspiração ou à percepção súbita. Esse esforço mental, porém, devia deixá-lo tão consumido que, aos 50 anos de idade, precisou interromper sua produção por dois anos, devido a um esgotamento nervoso. Isso não o impediu, porém de retomar seu trabalho, nem de se tornar membro do Parlamento inglês ou ser director da Casa da Moeda.
Em 1703, foi eleito presidente da Royal Society, cargo para o qual foi reeleito anualmente, enquanto viveu. Em 1704, publicou Opticks, livro que versa sobre as suas descobertas no campo da Óptica.
Curiosamente, Newton ficou grisalho com apenas 30 anos, mas se manteve em actividade mental por toda a vida. aos 80 anos, orgulhava-se de enxergar e ouvir bem e de ainda possuir todos os dentes! Tentando avaliar sua carreira científica, ele disse: "Tenho a impressão de ter sido uma criança brincando à beira-mar, divertindo-me em descobrir uma pedrinha mais lisa ou uma concha mais bonita que as outras, enquanto o imenso oceano da verdade continua misterioso diante de meus olhos".
Tales de Mileto nasceu em torno de 624 a.C. em Mileto, Ásia Menor (agora Turquia), e morreu em torno de 547 a.C. também em Mileto. É descrito em algumas lendas como homem de negócios, mercador de sal, defensor do celibato ou estadista da visão, mas a verdade é que pouco se sabe sobre sua vida. As obras de Tales não conseguiram sobreviver até nossos dias mas com base em tradições pode-se reconstruir algumas idéias.
Viajando muito pelos centros antigos de conhecimento deve ter obtido
informações sobre Astronomia e Matemática aprendendo Geometria no Egito. Na Babilônia, sob o governo de Nabucodonosor, entrou em contato com as primeiras tabelas e instrumentos astronômicos e diz-se que em 585 a.C. conseguiu predizer o eclipse solar que ocorreria neste ano, assombrando seus contemporâneos e é nesta data que se apoiam para indicar aproximadamente o ano em que nasceu,. pois na época deveria contar com quarenta anos, mais ou menos. Calcula-se que tenha morrido com 78 anos de idade.
Tales é considerado o primeiro filósofo e o primeiro dos sete sábios, discípulo dos egípcios e caldeus, e recebe o título comumente de "primeiro matemático'' verdadeiro, tentando organizar a Geometria de forma dedutiva. Acredita-se que durante sua viagem à Babilônia estudou o resultado que chega até nós como "Teorema de Tales" segundo o qual um ângulo inscrito num semicírculo é um ângulo reto. A ele também se devem outros quatro teoremas fundamentais: "um circulo é bissectado por um diâmetro'', "os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais", "os pares de ângulos opostos formados por duas retas que se cortam são iguais", e "se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado são iguais respectivamente a dois ângulos e um lado do outro, então, eles são congruentes".
Parece provável que Tales conseguiu medir a altura de uma pirâmide do Egito observando o comprimento das sombras no momento em que a sombra de um bastão vertical é igual á sua altura".
Tales foi mestre de um grupo de seguidores de suas idéias, chamado "Escola Jániá'' e foi o primeiro homem da História a quem se atribuem descobertas matemáticas especificas e, como disse Aristóteles, "para Tales a questão primordial não era o que sabemos, mas como sabemos''.
Bhaskara
Bhaskara viveu de 1114 a 1185 aproximadamente, na Índia. Nascido numa tradicional família de astrólogos indianos seguiu a tradição profissional da família, porém com uma orientação científica, dedicando-se mais à parte matemática e astronômica (tais como o cálculo do dia e hora da ocorrência de eclipses ou das posições e conjunções dos planetas) que dá sustentação à Astrologia. Seus méritos foram logo reconhecidos e muito cedo atingiu o posto de diretor do Observatório de Ujjain, o maior centro de pesquisas matemáticas e astronômicas da Índia, na época.
Seu livro mais famoso é o Lilavati, um livro bem elementar e dedicado a problemas simples de Aritmética, Geometria Plana (medidas e trigonometria elementar) e Combinatória. A palavra Lilavati é um nome próprio de mulher (a tradução é Graciosa), e a razão de ter dado esse título a seu livro é porque, provavelmente, teria desejado fazer um trocadilho comparando a elegância de uma mulher da nobreza com a elegância dos métodos da Aritmética. Numa tradução turca desse livro, 400 anos depois, foi inventada a história de que o livro seria uma homenagem à filha que não pode se casar. Justamente essa invenção é que tornou-o famoso entre as pessoas de pouco conhecimento de Matemática e de História da Matemática. Parece, também, que os professores estão muito dispostos a aceitarem estórias românticas em uma área tão abstrata e difícil como a Matemática; isso parece humanizá-la mais. Ele escreveu um livro muito importante, que é:
Equações INDETERMINADAS ou diofantinas:
Chamamos assim às equações (polinomiais e de coeficientes inteiros) com infinitas soluções inteiras, como é o caso de:
y - x = 1 que aceita todos os x = a e y = a + 1 como soluções , qualquer que seja o valor de a
a famosa equação de Pell x2 = N y2 + 1
Bhaskara foi o primeiro a ter sucesso na resolução dessa equação, para isso introduzindo o método do chakravala (ou pulverizador).
EXEMPLO: para resolver as equações quadráticas da forma ax2 + bx = c, os indianos usavam a seguinte regra:
“multiplique ambos os membros da equação pelo número que vale quatro vezes o coeficiente do quadrado e some a eles um número igual ao quadrado do coeficiente original da incógnita. A solução desejada é a raiz quadrada disso.”
É também muito importante observar que a falta de uma notação algébrica, bem como o uso de métodos geométricos para deduzir as regras, faziam os matemáticos da Era das Regras terem de usar varias regras para resolver equações do segundo grau. Por exemplo, precisavam de regras diferentes para resolver x2 = px + q e x2 + px = q. Foi só na Era das Fórmulas que iniciaram as tentativas de dar um procedimento único para resolver todas as equações de um grau dado.
Bhaskara conhecia a regra acima, porém, a regra não foi descoberta por ele. A regra já era do conhecimento de, no mínimo, o matemático Sridara, que viveu há mais de 100 anos antes de Bhaskara.
O hábito de dar nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação de 2º grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume, aparentemente só brasileiro ( não se encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adequado pois :
* Problemas que recaem numa equação de 2º grau já apareciam, há quase 4.000 anos atrás, em textos escritos pelos babilônicos. Nestes textos o que se tinha era uma receita ( escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensinava como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos
* Até o fim do século 16 não se usava uma fórmula para obter as raízes de uma equação do 2º grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso só começou a ser feito a partir da François Viéte, matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação de 2º grau.
Resumindo o envolvimento de Bhaskara com equações do segundo grau
Quanto a equações DETERMINADAS do segundo grau:
No Lilavati, Bhaskara não trata de equações quadráticas determinadas e o que ele faz sobre isso no Bijaganita é mera cópia do que já tinham escrito outros matemáticos.
Quanto a equações INDETERMINADAS do segundo grau:
Aí ele realmente fez grandes contribuições e essas estão expostas no Bijaganita. Pode-se dizer que essas contribuições, principalmente a invenção do método iterativo do chakravala e sua modificação do clássico método kuttaka correspondem ao ápice da matemática indiana clássica, podendo-se acrescentar que é somente com Euler e Lagrange que voltaremos a encontrar desenvoltura técnica e fertilidade de idéias de porte comparáveis.
Todas as coisas começam em ordem, assim terminarão e assim recomeçarão, de acordo com o instituidor da ordem e da matemática mística da cidade celeste.
Sir Thomas Browne
Muitos séculos antes de Cristo já se sabia resolver certos tipos de equações do 2° grau. Entretanto, a fórmula resolutiva de uma equação do 2° grau só surgiu no século XII e é atribuída ao mais importante matemático desse século, o hindu Bhaskara. Sua obra mais conhecida chama-se Lilavati.
Lilavati? Mas que título estranho...
Lilavati era o nome da filha de Bhaskara. Mas por que um matemático iria colocar na sua obra mais importante o nome de sua filha? Eu vou lhes contar....
Bhaskara Akaria era fanático por astrologia. Acreditava plenamente nas predições asatrológicas. Os astrólogos previram que lilavati só poderia se casar em determinada hora de determinado dia. O dia chegou e a jovem, muito ansiosa, observavao relógio de água, colocando numa vasilhacom água e que deveria marcar a hora mais propícia para o casamento.
O relógio de água tem no fundo um orifício por onde penetra a água. Quando todo o relógio estivesse submerso, chegaria o momento de se casar.
Acontece que, ao se debruçar sobre o relógio, Lilavati não se dera conta de que uma pequena pérola de seu vestido havia se desprendido e tapado o orifício do relógio, impedindo a entrada da água. Com isso o relógio não afundou.
Mais tarde, o incidente foi descoberto, mas a hora propícia para o casamento havia se passado, e o noivo, com medo de maus presságios, havia fugido. Lilavati não se casou. O pai, para consolá-la, prometeu perpetuar o seu nome, dando a um de seus livros o título: Lilavati.
Essa é a história do nome desse livro. Verdadeira ou não, foi assim que me contaram.
